Hur lång kan en lina vara innan den brister av sin egen tyngd?

I en intressant diskussion vid kaffeautomaten häromdagen väcktes min nyfikenhet. Vi diskuterade om man kunde bygga en pyramid oändligt hög. Eftersom vikten är proportionell mot höjden upphöjt till tre, som fördelas på basarean som är proportionell mot höjden upphöjt till två kommer materialbelastningen att öka linjärt med höjden. Alltså finns det en (ändlig) gräns där materialet inte kan bära en högre pyramid. Så nej, det går inte.

Relaterat är hur långt ett rep kan vara innan det går sönder av sin egen vikt (tänk till exempel på vajrar till en hiss i en gruva). Man brukar begränsa sig till att man har ett konstant tvärsnitt, dvs att linan är lika tjock hela vägen. Men om man tillåter arean att ändras utefter linans längd? Går det att göra på ett sådant sätt att man kan göra en längre lina?
Det visar sig att det går. Tänk att man låter arean variera som A(x)=A0*e^kx där A0 är basarean, k är en konstant och x är längden längs med linan. Volymen av linan från minus oändligheten till x är då rho*A0*e^kx/k där rho är linans densitet. Med homogent tyngdkraftsfält g fås då materialpåkänning sigma=rho*g/k som är konstant. Om man bestämmer sigma och känner till materialets densitet rho kan man då räkna ut vad k ska vara för att linan ska hålla. För kevlar, ett lätt och starkt material blir det k=4e-6 1/m om man sätter in brottgränsen.
Detta leder oss till rymdhissen! Det finns en ide om att man sätter en vikt ute i geostationär omloppsbana runt jorden, dvs att den ser ut att vara på samma ställe på himlen jämt. Om man sätter den tillräckligt långt ut är centripetalaccelerationen starkare än tyngdkraften. Tillräckligt långt ut inträffar vid R=1.7 GM. Om man sätter sin kevlarlina dit (och antar homogen gravitation vilket är ett värre fall än vad det egentligen skulle vara, centripetalaccelerationen och den minskade gravitationen högre upp inverkar positivt) så har den ca 980 gånger större tvärsnittsarea än vid jordytan. Det är alltså ca 30 gånger större diameter.
Tänk vad häftigt att kunna åka hiss upp i rymden. Kanske inte så kul när överdelen av linan träffas av en meteorit...


Att ha arean varierande exponentiellt är optimalt, eftersom jag visat ovan att man då kan få konstant påkänning utefter hela linans längd. Ingen del av linan är påkänd mer än någon annan. Men finns det någon annan funktion för lintjockleken som också gör att man kan uppnå oändlig längd?

Sen undrar jag om det finns en analytisk lösning för ovanstående även om man räknar med inverkan av gravitationens avtagande samt centripetalaccelerationen. Hmm.